1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo una caja fuerte tiene 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos para crear una clave, de cuántas formas se pueden combinar? :
nPr = nr = 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
| nr |
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donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) |
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
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Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. |
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
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La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
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| Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. | |
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
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16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
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= 16 × 15 × 14 = 3360 | |
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13 × 12 ...
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¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
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donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 3360 |
| (16-3)! | 13! | 6,227,020,800 |
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
| 10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| (10-2)! | 8! | 40,320 |
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
